Usando a definição de derivada determine:
O ângulo que a reta tangente de f(x) = 2 x^2 - 4 x + 5 em x = 1 faz com a horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando a definição de derivada. A gente precisa descobrir qual é o ângulo que a reta tangente à função faz com a horizontal no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a derivada usando o limite e depois calcular o ângulo a partir da inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. A definição de derivada usando limite é:
Aqui, é o ponto onde queremos calcular a derivada, que no nosso caso é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função no ponto .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Substituindo esses valores na definição da derivada:
Então, a derivada de em é 0.

Passo 4

A derivada nos dá a inclinação da reta tangente no ponto . A inclinação está relacionada com o ângulo que a reta faz com a horizontal através da tangente do ângulo:
Como , temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo cujo tangente é 0. Sabemos que:
Portanto, o ângulo é .

Resposta

O ângulo que a reta tangente à função em faz com a horizontal é .

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