Usando a definição de derivada determine:
O ângulo que a reta tangente de
em
faz com a horizontal.
O ângulo que a reta tangente de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando a definição de derivada. A gente precisa descobrir qual é o ângulo que a reta tangente à função
faz com a horizontal no ponto onde
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a derivada usando o limite e depois calcular o ângulo a partir da inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. A definição de derivada usando limite é:
Aqui,
é o ponto onde queremos calcular a derivada, que no nosso caso é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função
no ponto
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Substituindo esses valores na definição da derivada:
Então, a derivada de
em
é 0.
Passo 4
A derivada
nos dá a inclinação da reta tangente no ponto
. A inclinação
está relacionada com o ângulo
que a reta faz com a horizontal através da tangente do ângulo:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ângulo
cujo tangente é 0. Sabemos que:
Portanto, o ângulo
é
.
Resposta
O ângulo que a reta tangente à função
em
faz com a horizontal é
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto domínio das seguintes funções:
Represente as situações abaixo através de uma função de duas ou mais variáveis:
a temperatura nos pontos de uma placa de forma circular, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do ponto ao centro da circunferência;
a temperatura nos pontos de uma placa de forma circular, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do ponto ao centro da circunferência;
Determine o conjunto domínio das seguintes funções:
Determine o conjunto domínio das seguintes funções: