Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular,
da reta tangente à curva
no ponto
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o coeficiente angular, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito fundamental no cálculo para determinar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
, que vamos chamar de
, é dada pelo limite:
Esse limite representa a inclinação da reta que “tangencia” a curva no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função específica. A função dada é:
E o ponto de interesse é
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos substituir
na definição da derivada:
Primeiro, precisamos calcular
:
Vamos expandir isso:
Simplificando:
E sabemos que
(dado pelo ponto
).
Passo 5
Substituindo na expressão da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo por
:
Passo 6
Agora, tomando o limite quando
tende a 0:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto
é
.
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