Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular, da reta tangente à curva no ponto em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o coeficiente angular, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito fundamental no cálculo para determinar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto , que vamos chamar de , é dada pelo limite:
Esse limite representa a inclinação da reta que “tangencia” a curva no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função específica. A função dada é:
E o ponto de interesse é , ou seja, .

Passo 4

Vamos substituir na definição da derivada:
Primeiro, precisamos calcular :
Vamos expandir isso:
Simplificando:
E sabemos que (dado pelo ponto ).

Passo 5

Substituindo na expressão da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 6

Agora, tomando o limite quando tende a 0:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto é .

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