Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado: .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito da matéria de Cálculo diferencial. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Primeiro, identificamos e . Agora, substituímos na fórmula da derivada:

Passo 4

Calculamos :
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Sabemos que . Agora, substituímos na expressão da derivada:

Passo 6

Agora, ao calcular o limite quando tende a 0:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é 10.

Passo 7

Com a inclinação e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Dado que a reta tangente a no ponto passa pelo ponto , ache .
Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado: .
Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado: .