Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito da matéria de Cálculo diferencial. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Primeiro, identificamos
e
. Agora, substituímos na fórmula da derivada:
Passo 4
Calculamos
:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Sabemos que
. Agora, substituímos na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, ao calcular o limite quando
tende a 0:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto
é 10.
Passo 7
Com a inclinação
e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto
, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Dado que a reta tangente a
no ponto
passa pelo ponto
, ache
.
Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
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Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
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