Usando a definição de derivada, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico das funções abaixo, nos pontos indicados:
y = x^2 + 1 ; P = (2, 5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso envolve o cálculo da derivada usando a definição de derivada. Vamos precisar entender como a derivada representa a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que estamos calculando o limite da razão entre a mudança na função e a mudança na variável quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Primeiro, calculamos :
Que corresponde ao ponto fornecido.

Passo 4

Agora, calculamos :

Passo 5

Substituímos e na definição da derivada:

Passo 6

Simplificamos a expressão:

Passo 7

Agora, quando se aproxima de 0, se aproxima de 4. Portanto:

Resposta

A inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto é 4.

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