Usando a definição de limite, mostre que: lim x 1 x^2=1

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, se aproxima de 1. Estamos trabalhando com o conceito de limites em cálculo, e para resolver isso, precisamos usar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que para qualquer número pequeno , a gente consegue encontrar um número tal que, se estiver dentro de de 1 (ou seja, ), então estará dentro de de 1 (ou seja, ).

Passo 3

Vamos focar em encontrar uma relação entre |x^2 - 1| = |x - 1||x + 1| e . Podemos fatorar como . Então:

Passo 4

Agora, precisamos controlar |x + 1| <= |2| + |0| = 2 + 1 = 3 para conseguir uma expressão em termos de . Suponhamos que . Se , então está entre e . Assim:
Na verdade, como está próximo de 1, podemos dizer que .

Passo 5

Com isso, a gente tem:
|x^2 - 1| = |x - 1||x + 1| <= |x - 1| cdot 3
Queremos que isso seja menor que 3|x - 1| < epsilon :
|x - 1| < epsilon3
Então, isolando :

Passo 6

Agora, para garantir que todas as condições sejam satisfeitas, escolhemos de como o menor entre 1 e :
Dessa forma, sempre que , teremos , conforme a definição de limite.

Resposta

Então, usando a definição de limite, mostramos que .

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