Usando a definição de limite, mostre que:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 1. Estamos trabalhando com o conceito de limites em cálculo, e para resolver isso, precisamos usar a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que para qualquer número pequeno
, a gente consegue encontrar um número
tal que, se
estiver dentro de
de 1 (ou seja,
), então
estará dentro de
de 1 (ou seja,
).
Passo 3
Vamos focar em encontrar uma relação entre
e
. Podemos fatorar
como
. Então:
Passo 4
Agora, precisamos controlar
para conseguir uma expressão em termos de
. Suponhamos que
. Se
, então
está entre
e
. Assim:
Na verdade, como
está próximo de 1, podemos dizer que
.
Passo 5
Com isso, a gente tem:
Queremos que isso seja menor que
:
Então, isolando
:
Passo 6
Agora, para garantir que todas as condições sejam satisfeitas, escolhemos
como o menor entre 1 e
:
Dessa forma, sempre que
, teremos
, conforme a definição de limite.
Resposta
Então, usando a definição de limite, mostramos que
.