Usando a definição de limite, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite de √x quando x se aproxima de 9 é igual a 3 usando a definição de limite. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve trabalhar com ε (épsilon) e δ (delta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a definição de limite diz. Diz que:
significa que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε.
No nosso caso, queremos mostrar que:
Então, aqui temos:
  • a = 9
  • f(x) = √x
  • L = 3

Passo 3

Vamos aplicar a definição. Precisamos provar que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se |x - 9| < δ, então |√x - 3| < ε.

Passo 4

Vamos manipular a desigualdade |√x - 3| < ε para relacionar com |x - 9|. Sabemos que:
Então, para que |√x - 3| < ε, precisamos que:

Passo 5

Para simplificar, vamos encontrar um lower bound para |√x + 3|. Se x estiver perto de 9, digamos que |x - 9| < 1, então x ∈ (8,10). Nesse intervalo, √x está entre √8 ≈ 2.828 e √10 ≈ 3.162.
Portanto:
Para facilitar, podemos usar 5 como um lower bound:

Passo 6

Usando esse lower bound, temos:
Para que a desigualdade acima seja verdadeira, basta que:

Passo 7

Então, escolhemos δ como o mínimo entre 1 e 5ε para garantir que x esteja dentro de (8,10) e que |x - 9| < 5ε. Portanto:

Passo 8

Finalmente, com esse δ, garantimos que sempre que |x - 9| < δ, então |√x - 3| < ε, o que confirma que:

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

Exercícios relacionados

Se e , calcule .
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Sejam e . Encontre: .
Calcule os seguintes limites: