Usando a definição de limite, mostre que: lim x 9 raizx=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite de √x quando x se aproxima de 9 é igual a 3 usando a definição de limite. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve trabalhar com ε (épsilon) e δ (delta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a definição de limite diz. Diz que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε.
No nosso caso, queremos mostrar que:
limx to 9 raizx = 3
Então, aqui temos:
  • a = 9
  • f(x) = √x
  • L = 3

Passo 3

Vamos aplicar a definição. Precisamos provar que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se |x - 9| < δ, então |√x - 3| < ε.

Passo 4

Vamos manipular a desigualdade |√x - 3| < ε para relacionar com |x - 9|. Sabemos que:
| raizx - 3 | = |x - 9| | raizx + 3 |
Então, para que |√x - 3| < ε, precisamos que:
|x - 9| | raizx + 3 | < ε

Passo 5

Para simplificar, vamos encontrar um lower bound para |√x + 3|. Se x estiver perto de 9, digamos que |x - 9| < 1, então x ∈ (8,10). Nesse intervalo, √x está entre √8 ≈ 2.828 e √10 ≈ 3.162.
Portanto:
| raizx + 3 | >= 2.828 + 3 = 5.828
Para facilitar, podemos usar 5 como um lower bound:
| raizx + 3 | >= 5

Passo 6

Usando esse lower bound, temos:
|x - 9| | raizx + 3 | <= |x - 9| 5 < ε
Para que a desigualdade acima seja verdadeira, basta que:
|x - 9| 5 < ε implies |x - 9| < 5ε

Passo 7

Então, escolhemos δ como o mínimo entre 1 e 5ε para garantir que x esteja dentro de (8,10) e que |x - 9| < 5ε. Portanto:
de

Passo 8

Finalmente, com esse δ, garantimos que sempre que |x - 9| < δ, então |√x - 3| < ε, o que confirma que:
limx to 9 raizx = 3

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

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