Usando a definição de limite prove que:
p) lim x 0^+ 1raiz[3]x=+infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para provar que o limite de quando se aproxima de 0 pela direita é mais infinito. Isso está dentro do conteúdo de limites, e vamos precisar entender a definição formal de limite no contexto de quando a função cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do limite quando tende a mais infinito. Dizemos que se, para todo número grande que a gente escolher (vamos chamar de ), existe um valor tal que sempre que , a função é maior que .

Passo 3

No nosso caso, o limite é quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, . Então, precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade . Primeiro, multiplicamos os dois lados por (que é positivo porque ) para obter . Depois, dividimos por : .

Passo 5

Agora, elevamos os dois lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica: .

Passo 6

Então, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que .

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(g) f(x) = raiz3(x^2 * cos^2(pi x)),
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
© f(x) = cos(x^2 + 2x + tg(x))^3,
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(l) f(x) = 1 / (3^x + e^x).
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
d) lim x 0 raizx^2-9sin 5 x