Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: d) Se , então

Passo 1

Beleza! A gente precisa provar que se , então . Isso está dentro do estudo de congruência modular, que basicamente verifica se dois números têm o mesmo resto quando divididos por . Vamos usar a definição de congruência para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que a diferença entre e é múltiplo de . Em termos matemáticos, escrevemos:
Ou seja, existe um inteiro tal que:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que . Vamos calcular a diferença entre e :
Sabemos que divide (pela definição inicial), então também divide . Portanto, seguindo a definição de congruência, temos:

Resposta

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Usando a fatoração em números primos, encontre o MDC e o MMC de: b) 144 e 441
(VUNESP - MPE SP - 2016) No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às d) 18 horas.
Em cada item, encontre o resto: b) o resto de na divisão por 3