Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que usando a definição da relação de congruência módulo . Aqui, estamos lidando com a matéria de Teoria dos Números, especificamente com congruências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois números serem congruentes módulo .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de congruência módulo . Dizemos que dois números inteiros e são congruentes módulo , e escrevemos , se a diferença for divisível por . Em termos matemáticos, isso significa que existe um inteiro tal que:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao caso específico em que queremos mostrar que . Substituindo por na definição, temos:
Calculando a diferença:

Passo 4

A equação precisa ser verdadeira para algum inteiro . Sabemos que multiplicar qualquer número por zero resulta em zero. Ou seja, se escolhermos , a equação se torna:
O que é uma identidade verdadeira.

Passo 5

Como encontramos um valor de (especificamente, ) que satisfaz a equação , isso confirma que divide . Portanto, de acordo com a definição, temos que .

Resposta

Portanto, demonstramos que é sempre verdadeiro conforme a definição de congruência módulo .

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