Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que
usando a definição da relação de congruência módulo
. Aqui, estamos lidando com a matéria de Teoria dos Números, especificamente com congruências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois números serem congruentes módulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de congruência módulo
. Dizemos que dois números inteiros
e
são congruentes módulo
, e escrevemos
, se a diferença
for divisível por
. Em termos matemáticos, isso significa que existe um inteiro
tal que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição ao caso específico em que queremos mostrar que
. Substituindo
por
na definição, temos:
Calculando a diferença:
Passo 4
A equação
precisa ser verdadeira para algum inteiro
. Sabemos que multiplicar qualquer número
por zero resulta em zero. Ou seja, se escolhermos
, a equação se torna:
O que é uma identidade verdadeira.
Passo 5
Como encontramos um valor de
(especificamente,
) que satisfaz a equação
, isso confirma que
divide
. Portanto, de acordo com a definição, temos que
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
é sempre verdadeiro conforme a definição de congruência módulo
.
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Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: e) Se
, então
Em cada item, encontre o menor inteiro positivo a que satisfaz as congruências: d)