usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a Transformada de Laplace de é igual a , onde . Vamos usar a definição da Transformada de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma técnica matemática usada para transformar uma função do tempo para uma função no domínio da frequência . A definição é dada por:
Aqui, é uma variável complexa, e a ideia é facilitar a resolução de equações diferenciais, por exemplo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Substituindo por na definição da Transformada de Laplace, temos:
Simplificando os expoentes, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de em relação a é , desde que . No nosso caso, , então:
Para que essa integral convirja, o expoente precisa ser negativo, ou seja, .

Passo 5

Calculando os limites:
  • Quando tende ao infinito, tende a zero porque .
  • Quando , .
Substituindo esses valores:
Simplificando, obtemos:

Resposta

Assim, mostramos que:

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