Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que muda de fórmula quando passa por 3. A questão quer saber se essa função é derivável nesse ponto específico, . Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que basicamente verifica se a inclinação da função está “suave” nesse ponto, ou seja, se não tem uma “quebra” ou “angulação”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando nos aproximamos desse ponto. Matematicamente, para a direita e para a esquerda, temos:
Para a função ser derivável em , esses dois limites devem existir e ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela direita ( ). Como , usamos a primeira parte da função:
Então,
Simplificando:
Para resolver esse limite, racionalizamos o numerador:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda ( ). Como , usamos a segunda parte da função:
Então,
Simplificando:

Resposta

Como e , os limites laterais são diferentes. Portanto, a função não é derivável em .

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Determine as derivadas das funções a seguir:
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