Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f^prime(x0) :
f(x)=cl-raiz3 x-1, & se x >= 3 x^23-1, & se x<3 (x0=3)

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que muda de fórmula quando passa por 3. A questão quer saber se essa função é derivável nesse ponto específico, . Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que basicamente verifica se a inclinação da função está “suave” nesse ponto, ou seja, se não tem uma “quebra” ou “angulação”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando nos aproximamos desse ponto. Matematicamente, para a direita e para a esquerda, temos:
f'(x0) = limh to 0^+ f(x0 + h) - f(x0)h
f'(x0) = limh to 0^- f(x0 + h) - f(x0)h
Para a função ser derivável em , esses dois limites devem existir e ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela direita ( f(x) = -raiz3x - 1 ). Como f'(3^+) = limh to 0^+ f(3 + h) - f(3)h = limh to 0^+ ( -raiz3(3+h) - 1 ) - ( -raiz9 - 1 ) h , usamos a primeira parte da função:
f'(3^+) = limh to 0^+ -raiz9 + 3h + 3 h
Então,
f'(3^+) = limh to 0^+ -raiz9 + 3h + 3 h cdot -raiz9 + 3h - 3 -raiz9 + 3h - 3 = limh to 0^+ (9 + 3h) - 9 h ( -raiz9 + 3h - 3 ) = limh to 0^+ 3h h ( -raiz9 + 3h - 3 ) = limh to 0^+ 3 -raiz9 + 3h - 3
Simplificando:
f'(3^+) = 3 -3 -3 = 3-6 = -12
Para resolver esse limite, racionalizamos o numerador:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda ( f(x) = x^23 - 1 ). Como f'(3^-) = limh to 0^- f(3 + h) - f(3)h = limh to 0^- ( (3+h)^23 - 1 ) - ( 93 - 1 ) h , usamos a segunda parte da função:
f'(3^-) = limh to 0^- 9 + 6h + h^23 - 3 + 1 h = limh to 0^- 6h + h^23 h = limh to 0^- 6h + h^23h = limh to 0^- 6 + h3 = 63 = 2
Então,
Simplificando:

Resposta

Como e , os limites laterais são diferentes. Portanto, a função não é derivável em .

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