Usando derivação implícita, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada
usando derivação implícita. O enunciado é:
Aqui, vamos utilizar o conceito de derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação relaciona
e
de forma que não está fácil de isolar
. Vamos precisar conhecer as regras de derivação básicas, como a derivada de funções trigonométricas e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo individualmente:
-
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia. Primeiro, a derivada deem relação a é , e depois multiplicamos pela (derivada de em relação a ): -
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada deé vezes a derivada de : -
Derivada de
:
A derivada de uma constante é zero: -
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada deem relação a é , e depois multiplicamos pela :
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação original, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar os termos com
de um lado e os termos sem
do outro lado. Adicionamos
aos dois lados:
Fatorando
:
Passo 6
Para encontrar
, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
A derivada
é:
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