Usando a derivada de logaritmo, calcule y' : y = x^(1/x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de usando a derivada de logaritmo. Para isso, vamos usar a regra da diferenciação logarítmica, que é ótima quando temos funções com variáveis no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar isso para simplificar a expressão:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é usando a regra da cadeia:

Passo 5

Para diferenciar , vamos usar a regra do quociente:

Passo 6

Agora, temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
26 F(x) = 1 / raiz(x^2 + 1)
Usando a Regra da Cadeia, calcule y', sendo y = (ln(x^2 + 1) - tg^(-1)(6x))^11
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
32 F(x) = (x - raiz(x))^4
Usando derivação implícita, calcule y' : 7y^2 + sen(3x) = 12 - y^4