Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações simples. Esse método é parte do estudo de cálculo integral e nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais, ou seja, razões de polinômios. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. Temos . Para fatorar, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , pois e . Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração em frações simples. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , assim eliminamos os denominadores:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Passo 5
Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Com isso, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de é , então:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração, substituindo e :