Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales: integral-1^0 3 x+2x^2-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações simples. Esse método é parte do estudo de cálculo integral e nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais, ou seja, razões de polinômios. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. Temos x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) . Para fatorar, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , pois e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração 3x + 2(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2 em frações simples. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de 3x + 2 = A(x - 2) + B(x - 1) e 3x + 2 = A x - 2A + B x - B = (A + B)x - (2A + B) , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum A + B = 3 -2A - B = 2 , assim eliminamos os denominadores:
-2A - (3 - A) = 2 -2A - 3 + A = 2 - A - 3 = 2 - A = 5 A = -5
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 5

Agora que encontramos 3x + 2(x - 1)(x - 2) = -5x - 1 + 8x - 2 e integral-1^0 ( -5x - 1 + 8x - 2 ) , dx , podemos reescrever a fração original:
Com isso, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral -5x - 1 , dx = -5 ln|x - 1| é integral 8x - 2 , dx = 8 ln|x - 2| , então:
-5 ln|x - 1| + 8 ln|x - 2| |-1^0
Então, a integral completa é:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração, substituindo -5 ln|0 - 1| + 8 ln|0 - 2| = -5 ln(1) + 8 ln(2) = -5 times 0 + 8 ln(2) = 8 ln(2) e -5 ln|-1 - 1| + 8 ln|-1 - 2| = -5 ln(2) + 8 ln(3) :
Para 8 ln(2) - (-5 ln(2) + 8 ln(3)) = 8 ln(2) + 5 ln(2) - 8 ln(3) = 13 ln(2) - 8 ln(3) :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

A integral é igual a .

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