Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre como as frações parciais funcionam e como aplicá-las em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fração . O denominador é , que é uma potência de um termo linear. Quando temos potências de termos lineares no denominador, nossa decomposição de frações parciais vai incluir termos com potências decrescentes desse denominador.
Então, vamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Para descobrir esses valores, podemos escolher valores específicos de que simplifiquem a equação. Uma boa escolha é , porque se torna zero:
Quando :
Então, já sabemos que .

Passo 5

Agora, vamos derivar a equação original para facilitar a descoberta dos outros coeficientes. Derivando ambos os lados com relação a :
Novamente, substituindo :
Então, .

Passo 6

Vamos derivar a equação original mais uma vez para encontrar :
Derivando novamente:
Substituindo :
Então, .

Passo 7

Por fim, para encontrar , podemos usar a equação original com os valores que já encontramos:
Expandindo o lado direito:
Comparando os coeficientes dos mesmos termos:
  • Para :
  • Para : (já sabemos , então , que confirma)
  • Para : (também confirmado)
  • Termo constante: (confirma )
Portanto, .

Passo 8

Agora que encontramos todos os coeficientes, nossa decomposição fica:

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar termo a termo:

Resposta

Portanto, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel :
h)
Usando el método de fracciones simples calcular las siguientes integrales:
Resolva no caderno as equaçōes exponenciais:
b)
Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales: