Usando a espira como elemento diferencial calcular o campo magnético de um disco sem espessura de raio com carga total girando com velocidade angular constante através dos seguintes passos. Sabendo que a carga de um anel diferencial vale e que o disco completa uma volta no tempo mostre que o elemento de corrente do anel será . Agora integre no disco todo para calcular o campo no eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletromagnetismo que envolve calcular o campo magnético gerado por um disco carregado que está girando. O disco não tem espessura, tem raio , e a carga total é . A rotação acontece com uma velocidade angular constante . Para resolver isso, vamos usar o conceito de espiras como elementos diferenciais e aplicar a Lei de Biot-Savart para encontrar o campo no eixo . Vamos precisar entender como a carga se distribui no disco e como isso gera corrente elétrica ao girar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a corrente elétrica gerada por um anel diferencial no disco. A carga em um anel de raio e largura é dada por:
Aqui, é a densidade de carga superficial, e é a área do anel diferencial.

Passo 3

Sabemos que o disco completa uma volta no tempo . A corrente elétrica gerada por esse anel é a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Então,
Substituindo :
Então, mostramos que:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa corrente sobre todo o disco para encontrar o campo magnético no eixo . Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart para uma espira circular, que nos dá o campo magnético no eixo devido a uma corrente em uma espira de raio :
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, e é a distância ao longo do eixo.

Passo 5

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, integramos de até para encontrar o campo total :

Passo 7

Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição , temos . Assim:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o campo magnético no eixo é:

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