Usando a espira como elemento diferencial calcular o campo magnético de um disco sem espessura de raio a com carga total Q girando com velocidade angular constante através dos seguintes passos. Sabendo que a carga de um anel diferencial vale d Q anel =sigma d A=Qpi a^2 2 pi r d r e que o disco completa uma volta no tempo tau=2 piomega mostre que o elemento de corrente do anel será d ia n e l=omega Qpi a^2 r d r. Agora integre no disco todo para calcular o campo no eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletromagnetismo que envolve calcular o campo magnético gerado por um disco carregado que está girando. O disco não tem espessura, tem raio , e a carga total é . A rotação acontece com uma velocidade angular constante . Para resolver isso, vamos usar o conceito de espiras como elementos diferenciais e aplicar a Lei de Biot-Savart para encontrar o campo no eixo . Vamos precisar entender como a carga se distribui no disco e como isso gera corrente elétrica ao girar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a corrente elétrica gerada por um anel diferencial no disco. A carga em um anel de raio dQanel = sigma dA = Qpi a^2 cdot 2pi r dr e largura é dada por:
Aqui, é a densidade de carga superficial, e é a área do anel diferencial.

Passo 3

Sabemos que o disco completa uma volta no tempo d ianel = dQaneltau = dQanel cdot omega2pi . A corrente elétrica d ianel = (Qpi a^2 cdot 2pi r dr) cdot omega2pi = omega Qpi a^2 cdot r dr gerada por esse anel é a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Então,
d ianel = omega Qpi a^2 r dr
Substituindo :
Então, mostramos que:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa corrente sobre todo o disco para encontrar o campo magnético no eixo dBz = mu02 d ianel r^2(r^2 + z^2)^3/2 . Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart para uma espira circular, que nos dá o campo magnético no eixo devido a uma corrente em uma espira de raio :
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, e é a distância ao longo do eixo.

Passo 5

Substituindo dBz = mu02 cdot (omega Qpi a^2 r dr) r^2(r^2 + z^2)^3/2 = mu0 omega Q2pi a^2 cdot r^3 dr(r^2 + z^2)^3/2 na expressão de :

Passo 6

Agora, integramos Bz = mu0 omega Q2pi a^2 integral0^a r^3 dr(r^2 + z^2)^3/2 de até para encontrar o campo total :

Passo 7

Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição Bz = mu0 omega Q2pi a^2 cdot 12 integralz^2^a^2 + z^2 (u - z^2) duu^3/2 , temos Bz = mu0 omega Q4pi a^2 [ integralz^2^a^2 + z^2 u^-1/2 du - z^2 integralz^2^a^2 + z^2 u^-3/2 du ] . Assim:
integral u^-1/2 du = 2u^1/2 e integral u^-3/2 du = -2u^-1/2
Simplificando:
Bz = mu0 omega Q4pi a^2 [ 2((a^2 + z^2)^1/2 - z ) + 2z^2 (1z - 1raiza^2 + z^2) ]
Integrando termo a termo:
Bz = mu0 omega Q2pi a^2 [ raiza^2 + z^2 - z + z^2z - z^2raiza^2 + z^2 ]
Substituindo os limites:
Bz = mu0 omega Q2pi a^2 [ raiza^2 + z^2 - z + z - z^2raiza^2 + z^2 ]
Simplificando:
Bz = mu0 omega Q2pi a^2 [ raiza^2 + z^2 - z^2raiza^2 + z^2 ] = mu0 omega Q2pi a^2 cdot a^2raiza^2 + z^2

Resposta

Portanto, o campo magnético no eixo Bz = mu0 omega Q2pi raiza^2 + z^2 é:

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