Usando a espira como elemento diferencial calcular o campo magnético de um disco sem espessura de raio
com carga total
girando com velocidade angular constante através dos seguintes passos. Sabendo que a carga de um anel diferencial vale
e que o disco completa uma volta no tempo
mostre que o elemento de corrente do anel será
. Agora integre no disco todo para calcular o campo no eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletromagnetismo que envolve calcular o campo magnético gerado por um disco carregado que está girando. O disco não tem espessura, tem raio
, e a carga total é
. A rotação acontece com uma velocidade angular constante
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de espiras como elementos diferenciais e aplicar a Lei de Biot-Savart para encontrar o campo no eixo
. Vamos precisar entender como a carga se distribui no disco e como isso gera corrente elétrica ao girar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a corrente elétrica gerada por um anel diferencial no disco. A carga em um anel de raio
e largura
é dada por:
Aqui,
é a densidade de carga superficial, e
é a área do anel diferencial.
Passo 3
Sabemos que o disco completa uma volta no tempo
. A corrente elétrica
gerada por esse anel é a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Então,
Substituindo
:
Então, mostramos que:
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa corrente sobre todo o disco para encontrar o campo magnético no eixo
. Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart para uma espira circular, que nos dá o campo magnético no eixo
devido a uma corrente
em uma espira de raio
:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a distância ao longo do eixo.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Agora, integramos
de
até
para encontrar o campo total
:
Passo 7
Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição
, temos
. Assim:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o campo magnético no eixo
é: