Usando propriedades do cálculo vetorial mostre que .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos mostrar que a função potencial elétrico pode ser expressa pela integral dada. Para isso, vamos usar conceitos como densidade de carga , polarização , divergente () e propriedades das integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser escrito como:
Aqui, é a densidade de carga na posição .
Passo 3
Agora, consideramos que além da densidade de carga livre , há uma polarização do material descrita por . A polarização contribui com uma densidade de carga ligada, que é dada por:
Isso significa que a densidade de carga total que contribui para o potencial elétrico é a soma da carga livre e da carga ligada:
Passo 4
Substituindo a densidade de carga total na expressão do potencial elétrico, temos:
Aqui, usamos a propriedade de que a divergente da polarização representa a densidade de carga ligada.