Usando propriedades do cálculo vetorial mostre que .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos mostrar que a função potencial elétrico pode ser expressa pela integral dada. Para isso, vamos usar conceitos como densidade de carga , polarização , divergente ( ) e propriedades das integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser escrito como:
Aqui, é a densidade de carga na posição .

Passo 3

Agora, consideramos que além da densidade de carga livre , há uma polarização do material descrita por . A polarização contribui com uma densidade de carga ligada, que é dada por:
Isso significa que a densidade de carga total que contribui para o potencial elétrico é a soma da carga livre e da carga ligada:

Passo 4

Substituindo a densidade de carga total na expressão do potencial elétrico, temos:
Aqui, usamos a propriedade de que a divergente da polarização representa a densidade de carga ligada.

Resposta

Assim, demonstramos que:

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