Usando propriedades do cálculo vetorial mostre que .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos mostrar que a função potencial elétrico phi(r) pode ser expressa pela integral dada. Para isso, vamos usar conceitos como densidade de carga rho, polarização P, divergente (nabla cdot) e propriedades das integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o potencial elétrico phi(r) devido a uma distribuição de carga pode ser escrito como:
phi(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| dV^prime
Aqui, rho(r^prime) é a densidade de carga na posição r^prime.
Passo 3
Agora, consideramos que além da densidade de carga livre rho(r^prime), há uma polarização do material descrita por P(r^prime). A polarização contribui com uma densidade de carga ligada, que é dada por:
rhob = -nabla cdot P
Isso significa que a densidade de carga total que contribui para o potencial elétrico é a soma da carga livre e da carga ligada:
rhototal = rho + rhob = rho - nabla cdot P
Passo 4
Substituindo a densidade de carga total na expressão do potencial elétrico, temos:
phi(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime) - nabla^prime cdot P(r^prime)|r - r^prime| dV^prime
Aqui, usamos a propriedade de que a divergente da polarização nabla^prime cdot P(r^prime) representa a densidade de carga ligada.
Resposta
Assim, demonstramos que:
phi(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime)-nabla^prime cdot P(r^prime)|r-r^prime| d V^prime