Usando o fato de que
e
, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a derivada de
é igual a
. Para isso, vamos usar as derivadas de
e
, além das regras de derivação como a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser escrita como o quociente de
por
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se temos uma função
, então sua derivada é:
Passo 4
Identificando
e
, precisamos encontrar suas derivadas. Sabemos que:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Passo 7
Sabemos da identidade trigonométrica que
. Substituindo:
Passo 8
Lembrando que
, então: