Usando o fato de que d/dx (sen x) = cos x e d/dx (cos x) = -sen x, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
c d/dx(cot(x))=-cossec^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a derivada de é igual a . Para isso, vamos usar as derivadas de sen x e cos(x), além das regras de derivação como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser escrita como o quociente de cos(x) por sen x. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que se temos uma função , então sua derivada é:

Passo 4

Identificando e , precisamos encontrar suas derivadas. Sabemos que:

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando o numerador:

Passo 7

Sabemos da identidade trigonométrica que . Substituindo:

Passo 8

Lembrando que , então:

Resposta

Exercícios relacionados