Usando as formas explícitas das autofunções da partícula na caixa normalizadas, mostre que elas são ortonormais (ortogonais e normalizadas), ou seja:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com as autofunções (ou funções de onda) de uma partícula numa caixa, que estão normalizadas. O objetivo é mostrar que essas funções são ortonormais, ou seja, que elas são ortogonais (produto interno igual a zero para funções diferentes) e normalizadas (produto interno igual a um para a mesma função). Para isso, vamos usar as expressões explícitas dessas autofunções e calcular algumas integrais.
Passo 2
Vamos recordar a forma das autofunções normalizadas para uma partícula numa caixa de comprimento . Essas funções são dadas por:
onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).
Passo 3
Para mostrar que as funções são ortonormais, precisamos calcular a integral do produto de duas autofunções diferentes e verificar os resultados. A integral que vamos calcular é:
Como as funções são reais, , então a integral fica:
Passo 4
Substituindo as expressões de e :
Passo 5
Agora, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar o produto de senos:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Vamos integrar cada cosseno separadamente. A integral de é . Aplicando isso:
Passo 7
Sabemos que para qualquer inteiro . Então, ambos os termos da expressão serão zero, exceto quando , porque nesse caso o denominador se torna zero e a expressão precisa ser tratada separadamente.
Para :
Passo 8
Agora, analisando quando :
A integral se torna:
Usando a identidade , temos:
Integrando:
Resposta
Assim, demonstramos que as autofunções são ortonormais: