Usando as formas explícitas das autofunções da partícula na caixa normalizadas, mostre que elas são ortonormais (ortogonais e normalizadas), ou seja:
integral0^L psim^* psin d x=l0, para m neq n 1, para m=n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com as autofunções (ou funções de onda) de uma partícula numa caixa, que estão normalizadas. O objetivo é mostrar que essas funções são ortonormais, ou seja, que elas são ortogonais (produto interno igual a zero para funções diferentes) e normalizadas (produto interno igual a um para a mesma função). Para isso, vamos usar as expressões explícitas dessas autofunções e calcular algumas integrais.

Passo 2

Vamos recordar a forma das autofunções normalizadas para uma partícula numa caixa de comprimento psin(x) = raiz2L sin(n pi xL) . Essas funções são dadas por:
onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).

Passo 3

Para mostrar que as funções são ortonormais, precisamos calcular a integral do produto de duas autofunções diferentes e verificar os resultados. A integral que vamos calcular é:
integral0^L psim^*(x) psin(x) , dx
Como as funções são reais, integral0^L psim(x) psin(x) , dx , então a integral fica:

Passo 4

Substituindo as expressões de integral0^L ( raiz2L sin(m pi xL) ) ( raiz2L sin(n pi xL) ) dx = 2L integral0^L sin(m pi xL) sin(n pi xL) dx e :

Passo 5

Agora, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar o produto de senos:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso, temos:
2L cdot 12 integral0^L [ cos((m - n) pi xL) - cos((m + n) pi xL) ] dx = 1L [ integral0^L cos((m - n) pi xL) dx - integral0^L cos((m + n) pi xL) dx ]

Passo 6

Vamos integrar cada cosseno separadamente. A integral de 1L [ sin((m - n) pi LL)(m - n) piL - sin((m + n) pi LL)(m + n) piL ] = 1L [ sin((m - n)pi)(m - n)piL - sin((m + n)pi)(m + n)piL ] é . Aplicando isso:

Passo 7

Sabemos que 1L cdot 0 = 0 para qualquer inteiro . Então, ambos os termos da expressão serão zero, exceto quando , porque nesse caso o denominador se torna zero e a expressão precisa ser tratada separadamente.
Para :

Passo 8

Agora, analisando quando integral0^L psin^2(x) dx = 2L integral0^L sin^2(n pi xL) dx :
A integral se torna:
2L cdot 12 integral0^L [ 1 - cos(2 n pi xL) ] dx = 1L [ integral0^L 1 , dx - integral0^L cos(2 n pi xL) dx ]
Usando a identidade 1L [ L - L2 n pi sin(2 n pi xL) g|0^L ] = 1L [ L - 0 ] = 1 , temos:
Integrando:

Resposta

Assim, demonstramos que as autofunções são ortonormais:
integral0^L psim^*(x) psin(x) , dx = 0 & para m neq n, 1 & para m = n

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