Usando as formas explícitas das autofunções da partícula na caixa normalizadas, mostre que elas são ortonormais (ortogonais e normalizadas), ou seja:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com as autofunções (ou funções de onda) de uma partícula numa caixa, que estão normalizadas. O objetivo é mostrar que essas funções são ortonormais, ou seja, que elas são ortogonais (produto interno igual a zero para funções diferentes) e normalizadas (produto interno igual a um para a mesma função). Para isso, vamos usar as expressões explícitas dessas autofunções e calcular algumas integrais.

Passo 2

Vamos recordar a forma das autofunções normalizadas para uma partícula numa caixa de comprimento . Essas funções são dadas por:
onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).

Passo 3

Para mostrar que as funções são ortonormais, precisamos calcular a integral do produto de duas autofunções diferentes e verificar os resultados. A integral que vamos calcular é:
Como as funções são reais, , então a integral fica:

Passo 4

Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Agora, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar o produto de senos:
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Vamos integrar cada cosseno separadamente. A integral de é . Aplicando isso:

Passo 7

Sabemos que para qualquer inteiro . Então, ambos os termos da expressão serão zero, exceto quando , porque nesse caso o denominador se torna zero e a expressão precisa ser tratada separadamente.
Para :

Passo 8

Agora, analisando quando :
A integral se torna:
Usando a identidade , temos:
Integrando:

Resposta

Assim, demonstramos que as autofunções são ortonormais:

Exercícios relacionados

Quais são os complexos conjugados das seguintes funções de onda?
(d)
Quais são os complexos conjugados das seguintes funções de onda?
©
Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
©
Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(b)