Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando a Função Gamma. A integral é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e a Função Gamma, que é uma extensão do fatorial para números reais. Para resolver, vamos usar uma substituição que nos ajude a relacionar a integral com a Função Gamma.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Dessa forma, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Sabemos que
(já que
), então substituindo:
Passo 4
Agora, a integral ficou mais simples:
Essa forma se assemelha à definição da Função Gamma, que é:
Comparando, vemos que
, ou seja,
. Portanto:
E sabemos que
.
Passo 5
Substituindo de volta na nossa integral:
Resposta
A integral vale 2.