Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
d) integral0^wed>= b infty x^3 e^-x^22 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando a Função Gamma. A integral é:
integral0^infty x^3 e^-x^22 , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e a Função Gamma, que é uma extensão do fatorial para números reais. Para resolver, vamos usar uma substituição que nos ajude a relacionar a integral com a Função Gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x^22
Dessa forma, vamos calcular a derivada de du = x , dx Rightarrow dx = dux em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos integral0^infty x^3 e^-u cdot dux = integral0^infty x^2 e^-u , du e integral0^infty 2u cdot e^-u , du na integral original:
Sabemos que (já que ), então substituindo:

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples:
2 integral0^infty u cdot e^-u , du
Essa forma se assemelha à definição da Função Gamma, que é:
Gamma(n) = integral0^infty x^n-1 e^-x , dx
Comparando, vemos que Gamma(2) = 1! , ou seja, . Portanto:
E sabemos que .

Passo 5

Substituindo de volta na nossa integral:
2 cdot Gamma(2) = 2 cdot 1 = 2

Resposta

A integral vale 2.

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