Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
a) integral0^infty x^4 e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando a Função Gamma. Isso faz parte de Cálculo Integral e funções especiais. Para resolver, vamos precisar entender o que é a Função Gamma e como ela se relaciona com integrais dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Função Gamma é uma generalização do fatorial para números reais e complexos. A definição da Função Gamma é:
Gamma(n) = integral0^infty x^n-1 e^-x dx

Passo 3

Nossa integral é . Comparando com a definição da Função Gamma, vemos que , ou seja, .

Passo 4

Então, podemos escrever:
integral0^infty x^4 e^-x dx = Gamma(5)

Passo 5

Agora, sabemos que para números inteiros positivos, Gamma(5) = (5-1)! = 4! = 24 . Portanto:

Resposta

A integral é igual a 24.

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