Usando a Função Gamma, mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que, usando a Função Gamma, para
,
Vamos resolver essa integral passo a passo usando substituições e propriedades da Função Gamma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição de variável. Vamos definir
. Isso significa que quando
vai para
,
vai para
, e quando
,
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Derivando
, temos
, ou seja,
. Substituindo na integral, fica:
Simplificando, fatoramos
que é constante em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos reconhecer a integral que aparece aqui como uma forma da Função Gamma. A Função Gamma é definida por:
Comparando com a nossa integral, temos
, ou seja,
. Além disso, temos um fator
no expoente. Fazendo uma substituição
, temos
, e a integral fica:
Resposta
Portanto, juntando tudo, a integral vale:
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