Usando a Função Gamma, mostre que se

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que, usando a Função Gamma, para ,
Vamos resolver essa integral passo a passo usando substituições e propriedades da Função Gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição de variável. Vamos definir . Isso significa que quando vai para , vai para , e quando , .

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Derivando , temos , ou seja, . Substituindo na integral, fica:
Simplificando, fatoramos que é constante em relação a :

Passo 4

Agora, vamos reconhecer a integral que aparece aqui como uma forma da Função Gamma. A Função Gamma é definida por:
Comparando com a nossa integral, temos , ou seja, . Além disso, temos um fator no expoente. Fazendo uma substituição , temos , e a integral fica:

Resposta

Portanto, juntando tudo, a integral vale:

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h)
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e)
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a)
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d)