Usando a Função Gamma, mostre que se 0
integral-infty^k e^a x(k-x)^lambda d x=e^a k a^lambda-1 Gamma(1-lambda)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que, usando a Função Gamma, para integral-infty^k e^a x(k-x)^lambda , dx = e^a k a^lambda-1 Gamma(1-lambda) ,
Vamos resolver essa integral passo a passo usando substituições e propriedades da Função Gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição de variável. Vamos definir . Isso significa que quando vai para , vai para , e quando , .

Passo 3

Agora, precisamos expressar integral-infty^k e^a x(k-x)^lambda , dx = integral+infty^0 e^a (k - t)t^lambda (-dt) = integral0^+infty e^a k e^-a tt^lambda , dt em termos de e^a k integral0^+infty e^-a tt^lambda , dt . Derivando , temos , ou seja, . Substituindo na integral, fica:
Simplificando, fatoramos que é constante em relação a :

Passo 4

Agora, vamos reconhecer a integral que aparece aqui como uma forma da Função Gamma. A Função Gamma é definida por:
Gamma(z) = integral0^+infty t^z-1 e^-t , dt
Comparando com a nossa integral, temos integral0^+infty e^-a tt^lambda , dt = a^lambda -1 Gamma(1 - lambda) , ou seja, . Além disso, temos um fator no expoente. Fazendo uma substituição , temos , e a integral fica:

Resposta

Portanto, juntando tudo, a integral vale:
e^a k a^lambda-1 Gamma(1-lambda)

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