Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de indução matemática juntos. A questão pede para mostrar que a soma da sequência
é igual a
para todo
. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que são verdadeiras para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Base da Indução
Primeiro, vamos testar se a afirmação vale para
.
Calculando a soma para
:
E a expressão
para
é:
Como ambos os lados são iguais (
), a base da indução está confirmada.
Passo 3
Passo Indutivo
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Provar para
Precisamos mostrar que, se a afirmação vale para
, então também vale para
. Vamos adicionar o próximo termo da sequência à soma:
Simplificando os índices:
Pela hipótese de indução, sabemos que a soma até
é
, então substituímos:
Passo 5
Alcançando a Fórmula para
Vamos somar as frações:
Agora, vamos fatorar o numerador:
Então:
Isso mostra que a afirmação vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a soma
é verdadeira para todo
.
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Resolva as seguintes inequações
(b)
(b)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(a) Passa pelo pontos e
(a) Passa pelo pontos
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(b) Passa pelo ponto e é paralela a reta cuja equação é
.
(b) Passa pelo ponto
Resolva as seguintes equações e inaquações modulares
(f)
(f)