Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de indução matemática juntos. A questão pede para mostrar que a soma da sequência
é igual a para todo . Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que são verdadeiras para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Base da Indução
Primeiro, vamos testar se a afirmação vale para .
Calculando a soma para :
E a expressão para é:
Como ambos os lados são iguais ( ), a base da indução está confirmada.

Passo 3

Passo Indutivo
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum . Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Provar para
Precisamos mostrar que, se a afirmação vale para , então também vale para . Vamos adicionar o próximo termo da sequência à soma:
Simplificando os índices:
Pela hipótese de indução, sabemos que a soma até é , então substituímos:

Passo 5

Alcançando a Fórmula para
Vamos somar as frações:
Agora, vamos fatorar o numerador:
Então:
Isso mostra que a afirmação vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a soma
é verdadeira para todo .

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(b)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(a) Passa pelo pontos e
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
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(f)