Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar, usando indução matemática, que a soma da sequência
é igual a
para qualquer número inteiro
que seja maior ou igual a 1. Indução matemática é uma técnica que ajuda a mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um ponto inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
. Isso é o que chamamos de caso base.
Para
:
Viu só? Está certinho!
Passo 3
Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum número
, ou seja, que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Com base na hipótese, vamos mostrar que a fórmula também é válida para
.
Começamos adicionando o próximo termo da sequência na soma:
Pela hipótese de indução, sabemos que a soma até
é
, então:
Simplificando o termo dentro dos colchetes:
Agora, somamos:
Distribuindo o
:
Agora, queremos mostrar que isso é igual a
:
Multiplicando:
Vemos que ambos os lados são iguais, ou seja:
Isso confirma que se a fórmula vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Portanto, pela indução matemática, a soma da sequência
é igual a
para todo
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Determine f e g , dado que
(a)
(a)
Determinar
de modo que a reta de equação
passe pelo ponto
.