Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar, usando indução matemática, que a soma da sequência é igual a para qualquer número inteiro que seja maior ou igual a 1. Indução matemática é uma técnica que ajuda a mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um ponto inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para . Isso é o que chamamos de caso base.
Para :
Viu só? Está certinho!

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum número , ou seja, que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Com base na hipótese, vamos mostrar que a fórmula também é válida para .
Começamos adicionando o próximo termo da sequência na soma:
Pela hipótese de indução, sabemos que a soma até é , então:
Simplificando o termo dentro dos colchetes:
Agora, somamos:
Distribuindo o :
Agora, queremos mostrar que isso é igual a :
Multiplicando:
Vemos que ambos os lados são iguais, ou seja:
Isso confirma que se a fórmula vale para , ela também vale para .

Resposta

Portanto, pela indução matemática, a soma da sequência é igual a para todo .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Determine f e g , dado que
(a)
Determinar de modo que a reta de equação passe pelo ponto .