Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão usando indução matemática. A gente precisa provar que a soma dos produtos é igual a para todo número natural . Para isso, vamos seguir os passos da indução: primeiro, verificar se funciona para e depois assumir que funciona para um qualquer e mostrar que também funciona para .

Passo 2

Base da indução: Vamos testar para .
A soma fica:
Agora, vamos calcular a expressão da fórmula para :
Como os dois lados são iguais (2 = 2), a base da indução está comprovada.

Passo 3

Passo indutivo: Vamos assumir que a fórmula funciona para algum , ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que, se a fórmula funciona para , ela também funciona para . Vamos calcular a soma até :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo:
Agora, vamos simplificar a expressão:
Fatorando :
Isso é exatamente a fórmula para :
Portanto, se a fórmula funciona para , ela também funciona para .

Resposta

Por indução matemática, a soma é igual a para todo .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de cada função usando o gráfico de uma das funções básicas que já vimos e aplicando transformações apropriadas (translação e/ou reflexão).
(i)
Determine o domínio das seguintes funções:
(g)
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .