Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão usando indução matemática. A gente precisa provar que a soma dos produtos
é igual a
para todo número natural
. Para isso, vamos seguir os passos da indução: primeiro, verificar se funciona para
e depois assumir que funciona para um
qualquer e mostrar que também funciona para
.
Passo 2
Base da indução: Vamos testar para
.
A soma fica:
Agora, vamos calcular a expressão da fórmula para
:
Como os dois lados são iguais (2 = 2), a base da indução está comprovada.
Passo 3
Passo indutivo: Vamos assumir que a fórmula funciona para algum
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que, se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
. Vamos calcular a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo:
Agora, vamos simplificar a expressão:
Fatorando
:
Isso é exatamente a fórmula para
:
Portanto, se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
.
Resposta
Por indução matemática, a soma
é igual a
para todo
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de cada função usando o gráfico de uma das funções básicas que já vimos e aplicando transformações apropriadas (translação e/ou reflexão).
(i)
(i)
Determine o domínio das seguintes funções:
(g)
(g)
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.