Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar indução matemática para mostrar que a soma
é igual a
para todo
. Para isso, vamos precisar verificar a base da indução e depois provar que, se a afirmação vale para um certo
, ela também vale para
.
Passo 2
Base da indução: Vamos ver se a afirmação é verdadeira para
.
Substituindo
na soma:
Agora, substituindo
na expressão do lado direito:
Como ambos os lados são iguais a 2, a base da indução está correta.
Passo 3
Hipótese de indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
. Isso significa que:
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação vale para
, então ela também vale para
.
Vamos adicionar
em ambos os lados da hipótese:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Isso é exatamente o que queríamos para
. Portanto, a afirmação vale para
.
Resposta
A igualdade é verdadeira para todo
.
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (Pré-requisito: Cálculo 1) Seja
, para
. Mostre que sua
-ésima derivada
, para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 7 para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
, para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.