Usando indução, mostre as seguintes afirmações: 1 * 2^1 + 2 * 2^2 + 3 * 2^3 + ... + n * 2^n = 2 + (n - 1) * 2^(n + 1) para n ≥ 1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar indução matemática para mostrar que a soma é igual a para todo . Para isso, vamos precisar verificar a base da indução e depois provar que, se a afirmação vale para um certo , ela também vale para .

Passo 2

Base da indução: Vamos ver se a afirmação é verdadeira para .
Substituindo na soma:
Agora, substituindo na expressão do lado direito:
Como ambos os lados são iguais a 2, a base da indução está correta.

Passo 3

Hipótese de indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum . Isso significa que:

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação vale para , então ela também vale para .
Vamos adicionar em ambos os lados da hipótese:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Isso é exatamente o que queríamos para . Portanto, a afirmação vale para .

Resposta

A igualdade é verdadeira para todo .

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