Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (Pré-requisito: Cálculo 1) Seja
, para
. Mostre que sua
-ésima derivada
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos mostrar, usando indução, que a sua
-ésima derivada é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar das regras básicas de derivação do Cálculo 1.
Passo 2
Base da Indução:
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando a primeira derivada de
:
Agora, vamos ver se isso bate com a fórmula que queremos provar:
Confere! A base da indução está ok.
Passo 3
Hipótese de Indução:
Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum
. Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, queremos mostrar que, se isso vale para
, também vale para
.
Passo 4
Passo Indutivo:
Vamos calcular a derivada
a partir de
:
Vamos aplicar a regra da derivada para potências, que diz que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando:
Ou seja:
Que é exatamente o que queríamos provar para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para toda
:
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Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 7 para
.
Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
, para
.