Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (Pré-requisito: Cálculo 1) Seja , para . Mostre que sua -ésima derivada , para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos mostrar, usando indução, que a sua -ésima derivada é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar das regras básicas de derivação do Cálculo 1.

Passo 2

Base da Indução:
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Calculando a primeira derivada de :
Agora, vamos ver se isso bate com a fórmula que queremos provar:
Confere! A base da indução está ok.

Passo 3

Hipótese de Indução:
Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum . Ou seja, vamos supor que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, queremos mostrar que, se isso vale para , também vale para .

Passo 4

Passo Indutivo:
Vamos calcular a derivada a partir de :
Vamos aplicar a regra da derivada para potências, que diz que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando:
Ou seja:
Que é exatamente o que queríamos provar para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para toda :

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(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: , para .