Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é múltiplo de 7 para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que
é múltiplo de 7 para qualquer número natural
. Para isso, vamos usar a indução matemática, que é uma técnica que ajuda a mostrar que uma afirmação vale para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a afirmação funciona para
. Substituindo na expressão:
Como 7 é múltiplo de 7, a base da indução está certa!
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para um número qualquer
. Ou seja, vamos assumir que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Com a hipótese de indução, a gente precisa mostrar que a afirmação também é verdadeira para
. Vamos calcular:
Podemos reescrever isso assim:
Pela hipótese de indução, sabemos que
é múltiplo de 7. Multiplicando por 8, ainda é múltiplo de 7. E claro, 7 também é múltiplo de 7. Então a soma
é múltiplo de 7.
Resposta
Portanto, por indução matemática,
é múltiplo de 7 para todo
.
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Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (Pré-requisito: Cálculo 1) Seja
, para
. Mostre que sua
-ésima derivada
, para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.