Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é múltiplo de 7 para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que é múltiplo de 7 para qualquer número natural . Para isso, vamos usar a indução matemática, que é uma técnica que ajuda a mostrar que uma afirmação vale para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a afirmação funciona para . Substituindo na expressão:
Como 7 é múltiplo de 7, a base da indução está certa!

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para um número qualquer . Ou seja, vamos assumir que:
éú
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Com a hipótese de indução, a gente precisa mostrar que a afirmação também é verdadeira para . Vamos calcular:
Podemos reescrever isso assim:
Pela hipótese de indução, sabemos que é múltiplo de 7. Multiplicando por 8, ainda é múltiplo de 7. E claro, 7 também é múltiplo de 7. Então a soma é múltiplo de 7.

Resposta

Portanto, por indução matemática, é múltiplo de 7 para todo .

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Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (Pré-requisito: Cálculo 1) Seja , para . Mostre que sua -ésima derivada , para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .