Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que para todo número inteiro
maior ou igual a 4, a desigualdade
é verdadeira. Para isso, vamos usar um método chamado indução matemática, que é como uma escada: a gente mostra que dá pra subir um degrau (caso base) e que se já está em um degrau, dá pra subir para o próximo (passo indutivo). Vamos precisar entender um pouco sobre potências e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando
. Isso ajuda a gente a ter certeza de que a desigualdade funciona pelo menos para esse valor inicial.
Calculando:
Então:
Tá certo! O caso base funciona.
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia é assumir que a desigualdade funciona para algum número
maior ou igual a 4, ou seja, assumimos que:
Passo 4
Com essa suposição, queremos mostrar que a desigualdade também vale para
, ou seja, que:
Vamos começar manipulando o lado esquerdo:
Sabemos, pela nossa suposição, que
. Então:
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que:
Sabemos que
. Então, queremos ver se:
Simplificando:
Passo 6
Vamos ver para quais
essa última desigualdade é verdadeira. Sabemos que
, então:
E claramente:
E, na verdade, para qualquer
,
será maior que 3. Mas como nosso
, tá garantido.
Passo 7
Então, temos que:
Isso completa o passo indutivo. A gente assumiu que funciona para
e mostrou que também funciona para
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, mostramos que para todo inteiro
, a desigualdade
é verdadeira.
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Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (Pré-requisito: Cálculo 1) Seja
, para
. Mostre que sua
-ésima derivada
, para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
é divisível por 24 , para todo
natural ímpar.