Usando indução, mostre as seguintes afirmações: , para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que para todo número inteiro maior ou igual a 4, a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos usar um método chamado indução matemática, que é como uma escada: a gente mostra que dá pra subir um degrau (caso base) e que se já está em um degrau, dá pra subir para o próximo (passo indutivo). Vamos precisar entender um pouco sobre potências e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando . Isso ajuda a gente a ter certeza de que a desigualdade funciona pelo menos para esse valor inicial.
Calculando:
Então:
Tá certo! O caso base funciona.

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia é assumir que a desigualdade funciona para algum número maior ou igual a 4, ou seja, assumimos que:

Passo 4

Com essa suposição, queremos mostrar que a desigualdade também vale para , ou seja, que:
Vamos começar manipulando o lado esquerdo:
Sabemos, pela nossa suposição, que . Então:

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que:
Sabemos que . Então, queremos ver se:
Simplificando:

Passo 6

Vamos ver para quais essa última desigualdade é verdadeira. Sabemos que , então:
E claramente:
E, na verdade, para qualquer , será maior que 3. Mas como nosso , tá garantido.

Passo 7

Então, temos que:
Isso completa o passo indutivo. A gente assumiu que funciona para e mostrou que também funciona para .

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, mostramos que para todo inteiro , a desigualdade é verdadeira.

Exercícios relacionados

Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: (Pré-requisito: Cálculo 1) Seja , para . Mostre que sua -ésima derivada , para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: é divisível por 24 , para todo natural ímpar.