Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: integral cos x ln (sen x) dx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de . O conteúdo que vamos usar aqui é Integração por Partes, uma técnica que ajuda a resolver integrais que são produtos de funções. Para fazer isso, precisamos identificar duas partes na nossa integral que vamos chamar de cos x ln (sen x) , dx e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da integral será u = ln (sen x) e qual será dv = cos x , dx . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
Então, o que sobra será :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ddx ln (sen x) = cos xsen x e du = cos xsen x , dx . Vamos derivar v = integral cos x , dx = sen x para achar :
Sabemos que a derivada de é:
Então:
Em seguida, integramos para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificamos a integral que sobrou:
E já sabemos que:

Passo 6

Agora, voltamos à expressão anterior:
Onde integral cos x ln (sen x) , dx = sen x ln (sen x) - sen x + C é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:

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