Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: .

Passo 1

Beleza, a gente tem a seguinte integral para resolver: . Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, precisamos usar identidades trigonométricas e fazer uma mudança de variável que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Como temos , uma boa escolha é usar:
Isso significa que:
E a raiz fica:
Além disso, vamos mudar os limites de integração. Quando :
Quando :

Passo 3

Agora, substituímos tudo na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Para resolver a integral , vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, para integrar , usamos outra identidade:
Aplicando isso:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
Lembrando que e .

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:

Resposta

A integral vale .

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