Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: integral0^a x^2 raiza^2-x^2 dx.

Passo 1

Beleza, a gente tem a seguinte integral para resolver: . Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, precisamos usar identidades trigonométricas e fazer uma mudança de variável que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Como temos x = a sin theta , uma boa escolha é usar:
dx = a cos theta , dtheta
Isso significa que:
raiza^2 - x^2 = a cos theta
E a raiz fica:
0 = a sin theta Rightarrow theta = 0
Além disso, vamos mudar os limites de integração. Quando a = a sin theta Rightarrow sin theta = 1 Rightarrow theta = pi2 :
Quando :

Passo 3

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^a x^2 raiza^2-x^2 , dx = integral0^pi2 (a sin theta)^2 cdot (a cos theta) cdot (a cos theta , dtheta)
Simplificando os termos:
= a^4 integral0^pi2 sin^2 theta cos^2 theta , dtheta

Passo 4

Para resolver a integral sin^2 theta cos^2 theta = (sin 2theta2)^2 = 14 sin^2 2theta , vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
a^4 cdot 14 integral0^pi2 sin^2 2theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, para integrar sin^2 x = 1 - cos 2x2 , usamos outra identidade:
14 integral sin^2 2theta , dtheta = 14 integral 1 - cos 4theta2 , dtheta = 18 integral (1 - cos 4theta) , dtheta
Aplicando isso:
18 ( theta - sin 4theta4 ) g|0^pi2
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
18 ( pi2 - sin 2pi4 - (0 - sin 04) ) = 18 cdot pi2 = pi16
Lembrando que e .

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
a^4 cdot 14 cdot pi16 = a^4 pi64

Resposta

A integral vale .

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