Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: .
Passo 1
Beleza, a gente tem a seguinte integral para resolver: . Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, precisamos usar identidades trigonométricas e fazer uma mudança de variável que torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Como temos , uma boa escolha é usar:
Isso significa que:
E a raiz fica:
Além disso, vamos mudar os limites de integração. Quando :
Quando :
Passo 3
Agora, substituímos tudo na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Para resolver a integral , vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, para integrar , usamos outra identidade:
Aplicando isso:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração:
18 ( pi2 - sin 2pi4 - (0 - sin 04) ) = 18 cdot pi2 = pi16