Usando substituição, calcule as integrais abaixo: integral e^a x dx, onde a neq 0 é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^a x , dx usando substituição. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre métodos de integração. Vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = a x
Isso significa que estamos definindo uma nova variável u que é igual a a vezes x. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x:
dudx = a implies du = a , dx implies dx = dua
Então, substituímos dx na integral original.

Passo 3

Substituindo u e dx na integral, temos:
integral e^a x , dx = integral e^u cdot dua = 1a integral e^u , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 4

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então, temos:
1a integral e^u , du = 1a e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original x. Lembramos que u = a x, então substituímos de volta:
1a e^u + C = 1a e^a x + C

Resposta

A integral de e^a x , dx é:
1a e^a x + C

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