Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: integral raiza^2-x^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. O problema é calcular . Isso está relacionado com integrais envolvendo raízes quadradas de quadrados de variáveis, onde a substituição trigonométrica é super útil. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e transformar a integral em algo que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão . Vamos deixar . Com isso, . Essa substituição é útil porque transforma a raiz quadrada em uma expressão trigonométrica simples.

Passo 3

Substituindo raiza^2-x^2 = raiza^2 - a^2 sin^2 theta = a cos theta na expressão integral a cos thetaa sin theta cdot a cos theta , dtheta = integral a cos thetaa sin theta cdot a cos theta , dtheta = integral a cos^2 thetasin theta , dtheta , temos:
Então, a integral original fica:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral a cos^2 thetasin theta , dtheta = a integral cos^2 thetasin theta , dtheta
Podemos reescrever a integral 1 - sin^2 thetasin theta , dtheta = a integral ( 1sin theta - sin theta ) , dtheta usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
a integral 1sin theta , dtheta - a integral sin theta , dtheta
A integral de integral 1sin theta , dtheta = ln |tan theta2| + C é conhecida como a integral da cosecante:
integral sin theta , dtheta = -cos theta + C
E a integral de a ln |tan theta2| + a cos theta + C é simples:
Então, temos:

Passo 6

Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original sin theta = xa Rightarrow theta = arcsin ( xa ) . Lembrando que cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - ( xa )^2 = raiza^2 - x^2a , então:
tan theta2 = sin theta1 + cos theta = xa1 + raiza^2 - x^2a = xa + raiza^2 - x^2
Também temos:
E:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
a ln | xa + raiza^2 - x^2 | + a cdot raiza^2 - x^2a + C = a ln | xa + raiza^2 - x^2 | + raiza^2 - x^2 + C

Resposta

A integral a ln | xa + raiza^2 - x^2 | + raiza^2 - x^2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados