Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. O problema é calcular . Isso está relacionado com integrais envolvendo raízes quadradas de quadrados de variáveis, onde a substituição trigonométrica é super útil. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e transformar a integral em algo que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão . Vamos deixar . Com isso, . Essa substituição é útil porque transforma a raiz quadrada em uma expressão trigonométrica simples.
Passo 3
Substituindo na expressão , temos:
Então, a integral original fica:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Podemos reescrever usando a identidade trigonométrica :
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de é conhecida como a integral da cosecante:
E a integral de é simples:
Então, temos:
Passo 6
Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original . Lembrando que , então: