Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. O problema é calcular . Isso está relacionado com integrais envolvendo raízes quadradas de quadrados de variáveis, onde a substituição trigonométrica é super útil. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e transformar a integral em algo que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão . Vamos deixar . Com isso, . Essa substituição é útil porque transforma a raiz quadrada em uma expressão trigonométrica simples.

Passo 3

Substituindo na expressão , temos:
Então, a integral original fica:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
Podemos reescrever usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de é conhecida como a integral da cosecante:
E a integral de é simples:
Então, temos:

Passo 6

Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original . Lembrando que , então:
Também temos:
E:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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