Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está no campo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como escolher as partes certas da função para derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da função vamos derivar (u) e qual vamos integrar (dv). Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao ser derivada. Aqui, vou escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivando :
  • Integrando :
    A integral de não tem uma antiderivada elementar, então precisamos de outra abordagem. Nesse caso, a integração por partes pode não ser a melhor escolha direta, mas vamos prosseguir para ver o que acontece.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
çãçã
Percebemos que a integral resultante ainda envolve , sugerindo que a integração por partes direta não resolve o problema facilmente.

Passo 5

Diante disso, percebemos que a integração por substituição é mais adequada aqui. Vamos tentar outra abordagem:
  • Faça , então ou
  • Reescreva a integral em termos de :
Mas ainda precisamos expressar em termos de , sabendo que , então :
Agora, podemos usar integração por partes para essa integral, definindo:

  • Então:

  • Aplicando novamente a fórmula:
Continuando:
Portanto:
Voltando à variável original :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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