Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está no campo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como escolher as partes certas da função para derivar e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual parte da função vamos derivar (u) e qual vamos integrar (dv). Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao ser derivada. Aqui, vou escolher:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
- Derivando
: - Integrando
:
A integral denão tem uma antiderivada elementar, então precisamos de outra abordagem. Nesse caso, a integração por partes pode não ser a melhor escolha direta, mas vamos prosseguir para ver o que acontece.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Percebemos que a integral resultante ainda envolve
, sugerindo que a integração por partes direta não resolve o problema facilmente.
Passo 5
Diante disso, percebemos que a integração por substituição é mais adequada aqui. Vamos tentar outra abordagem:
- Faça
, então ou - Reescreva a integral em termos de
:
Mas ainda precisamos expressar
em termos de
, sabendo que
, então
:
Agora, podemos usar integração por partes para essa integral, definindo:
-
-
Então: -
-
Aplicando novamente a fórmula:
Continuando:
Portanto:
Voltando à variável original
:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
, onde a \neq 0$ é uma constante.
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
.
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
, onde
é uma constante.