Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: integral x^5 e^x^2 dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^5 e^x^2 dx. Isso está no campo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como escolher as partes certas da função para derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da função vamos derivar (u) e qual vamos integrar (dv). Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao ser derivada. Aqui, vou escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 5x^4 dx e integrar :
  • Derivando :
  • Integrando :
    A integral de não tem uma antiderivada elementar, então precisamos de outra abordagem. Nesse caso, a integração por partes pode não ser a melhor escolha direta, mas vamos prosseguir para ver o que acontece.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^5 e^x^2 dx = x^5 cdot ( Função antiderivada de e^x^2 ) - integral ( Função antiderivada de e^x^2 ) cdot 5x^4 dx çãçã
Percebemos que a integral resultante ainda envolve , sugerindo que a integração por partes direta não resolve o problema facilmente.

Passo 5

Diante disso, percebemos que a integração por substituição é mais adequada aqui. Vamos tentar outra abordagem:
  • Faça integral x^5 e^x^2 dx = integral x^4 cdot x e^x^2 dx = integral x^4 cdot e^u cdot du2 , então = 12 integral x^4 e^u du ou = 12 integral u^2 e^u du
  • Reescreva a integral em termos de integral u^2 e^u du = u^2 e^u - integral 2u e^u du : integral 2u e^u du = 2 ( u e^u - integral e^u du ) = 2u e^u - 2 e^u integral u^2 e^u du = u^2 e^u - 2u e^u + 2 e^u + C
Mas ainda precisamos expressar 12 ( u^2 e^u - 2u e^u + 2 e^u ) + C = 12 e^x^2 (x^4 - 2x^2 + 2) + C em termos de , sabendo que , então :
Agora, podemos usar integração por partes para essa integral, definindo:

  • Então:

  • Aplicando novamente a fórmula:
Continuando:
Portanto:
Voltando à variável original :

Resposta

A integral é igual a 12 e^x^2 (x^4 - 2x^2 + 2) + C, onde é a constante de integração.

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