Usando a técnica de decomposição em frações parciais, calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
usando a técnica de decomposição em frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente das integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração original como a soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos expressar a fração
como a soma de duas frações simples. Vamos supor que:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, temos uma equação que podemos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Primeiro, escolha
:
Passo 6
Agora, escolha
:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
As integrais de
e
são logaritmos naturais. Então, calculamos:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: