Usando a técnica de decomposição em frações parciais, calcule integral xx^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral usando a técnica de decomposição em frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente das integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração original como a soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) . Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, então podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos expressar a fração x(x - 3)(x + 3) = Ax - 3 + Bx + 3 como a soma de duas frações simples. Vamos supor que:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x = A(x + 3) + B(x - 3) para eliminar as frações:
Agora, temos uma equação que podemos resolver para encontrar e .

Passo 5

Para encontrar 3 = A(3 + 3) + B(3 - 3) e 3 = 6A + 0 , vamos escolher valores de A = 36 = 12 que simplifiquem a equação. Primeiro, escolha :

Passo 6

Agora, escolha -3 = A(-3 + 3) + B(-3 - 3) :
-3 = 0 + (-6)B
B = -3-6 = 12

Passo 7

Com os valores de xx^2 - 9 = 1/2x - 3 + 1/2x + 3 e encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral xx^2 - 9 , dx = 12 integral 1x - 3 , dx + 12 integral 1x + 3 , dx

Passo 9

As integrais de 12 ln|x - 3| + 12 ln|x + 3| + C e são logaritmos naturais. Então, calculamos:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 12 ln|x - 3| + 12 ln|x + 3| + C é igual a:

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