onde é um polinômio de grau com coeficientes inteiros. Use isso para mostrar que se é racional, então existe um tal que . Conclua que é irracional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que:
onde é um polinômio de grau com coeficientes inteiros. Além disso, precisamos usar isso para provar que é irracional. Vamos usar integração por partes para resolver isso. Para isso, precisamos lembrar como funciona a integração por partes e como aplicar isso em integrais que envolvem funções polinomiais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :
é a derivada de em relação a :
Para derivar , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
é a integral de :
Passo 3
Agora, substituímos na fórmula de integração por partes:
Vamos analisar os limites da primeira parte. Quando ou , é zero, então essa parte desaparece. Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 4
Repetimos o processo de integração por partes para a nova integral que temos. A cada passo, reduzimos o expoente de ou , e eventualmente acabamos com uma soma de termos envolvendo e polinômios de grau . Após aplicar a integração por partes vezes, chegamos à expressão:
onde é um polinômio de grau com coeficientes inteiros.
Passo 5
Agora, suponha que seja racional, ou seja, onde e são inteiros. Substituindo na expressão, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Como tem coeficientes inteiros, também é um número inteiro. Porém, o lado esquerdo é uma combinação de e integrais que, ao serem avaliadas, deveriam resultar em um número não inteiro, o que gera uma contradição. Portanto, não pode ser racional.