Usando integração por partes mostre que
pi^2 n+1 integral0^1 t^n(1-t)^n sen(pi t) d t=n!cdot Q(pi)
onde Q é um polinômio de grau n com coeficientes inteiros. Use isso para mostrar que se pi é racional, então existe um q in N tal que |q^n Q(pi)| >= 1. Conclua que pi é irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que:
pi^2n+1 integral0^1 t^n(1-t)^n sin(pi t) , dt = n! cdot Q(pi)
onde é um polinômio de grau com coeficientes inteiros. Além disso, precisamos usar isso para provar que é irracional. Vamos usar integração por partes para resolver isso. Para isso, precisamos lembrar como funciona a integração por partes e como aplicar isso em integrais que envolvem funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será du = [ n t^n-1(1 - t)^n - n t^n(1 - t)^n-1 ] dt e qual será v = -1pi cos(pi t) . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :
  • é a derivada de em relação a :
    Para derivar , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  • é a integral de :

Passo 3

Agora, substituímos na fórmula de integração por partes:
integral0^1 t^n(1 - t)^n sin(pi t) , dt = -1pi t^n(1 - t)^n cos(pi t) |0^1 + 1pi integral0^1 cos(pi t) [ n t^n-1(1 - t)^n - n t^n(1 - t)^n-1 ] dt
Vamos analisar os limites da primeira parte. Quando integral0^1 t^n(1 - t)^n sin(pi t) , dt = npi integral0^1 cos(pi t) [ t^n-1(1 - t)^n - t^n(1 - t)^n-1 ] dt ou , é zero, então essa parte desaparece. Isso simplifica nossa expressão para:

Passo 4

Repetimos o processo de integração por partes para a nova integral que temos. A cada passo, reduzimos o expoente de pi^2n+1 integral0^1 t^n(1 - t)^n sin(pi t) , dt = n! cdot Q(pi) ou , e eventualmente acabamos com uma soma de termos envolvendo e polinômios de grau . Após aplicar a integração por partes vezes, chegamos à expressão:
onde é um polinômio de grau com coeficientes inteiros.

Passo 5

Agora, suponha que pi^2n+1 integral0^1 t^n(1 - t)^n sin(pi t) , dt = n! cdot Q(pq) seja racional, ou seja, q^n pi^2n+1 integral0^1 t^n(1 - t)^n sin(pi t) , dt = n! cdot q^n Q(pq) onde e são inteiros. Substituindo na expressão, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Como tem coeficientes inteiros, também é um número inteiro. Porém, o lado esquerdo é uma combinação de e integrais que, ao serem avaliadas, deveriam resultar em um número não inteiro, o que gera uma contradição. Portanto, não pode ser racional.

Resposta

Concluímos que é irracional.

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