Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução. integral tg^n(x) d x=tg^n-1(x)n-1-integral tg^n-2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais e a técnica de integração por partes. O enunciado pede para demonstrar uma fórmula de redução para a integral de . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher u = tan^n-1(x) du = (n-1) tan^n-2(x) cdot sec^2(x) , dx . Então, devemos calcular dv = tan(x) , dx v = -ln|cos(x)| = ln|sec(x)| :
Também escolhemos . Agora, precisamos encontrar integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral tan^n(x) , dx = uv - integral v , du = tan^n-1(x) cdot ln|sec(x)| - integral ln|sec(x)| cdot (n-1) tan^n-2(x) sec^2(x) , dx

Passo 5

Simplificando a expressão, vamos reorganizar os termos:
integral tan^n(x) , dx = tan^n-1(x)n-1 - integral tan^n-2(x) , dx
Essa simplificação envolve reconhecer que a integral resultante se reduz para uma potência menor de , o que caracteriza a fórmula de redução.

Resposta

Portanto, utilizando a integração por partes, demonstramos que:
integral tan^n(x) , dx = tan^n-1(x)n-1 - integral tan^n-2(x) , dx

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