Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais e a técnica de integração por partes. O enunciado pede para demonstrar uma fórmula de redução para a integral de
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos escolher
. Então, devemos calcular
:
Também escolhemos
. Agora, precisamos encontrar
integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Simplificando a expressão, vamos reorganizar os termos:
Essa simplificação envolve reconhecer que a integral resultante se reduz para uma potência menor de
, o que caracteriza a fórmula de redução.
Resposta
Portanto, utilizando a integração por partes, demonstramos que: