Usando integral dupla, calcular a área da elípse dada na Figura 1 .
Figura 1: Elípse

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área de uma elipse dada pela equação usando integrais duplas. Para fazer isso, a gente vai precisar deixar essa equação numa forma mais simples e depois configurar a integral para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse em uma forma padrão. A equação que temos é . Para facilitar, vamos completar o quadrado nos termos de .

Passo 3

Completemos o quadrado para :
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora vamos dividir toda a equação por 9 pra deixar no formato padrão da elipse:
Isso mostra que a elipse está centrada no ponto , com semi-eixo maior e semi-eixo menor .

Passo 5

A área de uma elipse com esses parâmetros é dada pela fórmula . Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A área da elipse é unidades de área.

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(a)
(b)
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