Usando integral dupla, calcular a área da elípse
dada na Figura 1 .
Figura 1: Elípse
Figura 1: Elípse
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área de uma elipse dada pela equação
usando integrais duplas. Para fazer isso, a gente vai precisar deixar essa equação numa forma mais simples e depois configurar a integral para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse em uma forma padrão. A equação que temos é
. Para facilitar, vamos completar o quadrado nos termos de
.
Passo 3
Completemos o quadrado para
:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora vamos dividir toda a equação por 9 pra deixar no formato padrão da elipse:
Isso mostra que a elipse está centrada no ponto
, com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
.
Passo 5
A área de uma elipse com esses parâmetros é dada pela fórmula
. Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A área da elipse é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área do conjunto
do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
.
Determine todos os números reais
que satisfazem:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido abaixo do plano
e delimitado pelo parabolóide
.
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
.