Usando integral dupla, calcular o volume do sólido abaixo do plano e delimitado pelo parabolóide .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos calcular o volume do sólido que está abaixo do plano e limitado pelo parabolóide . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a encontrar volumes em situações como essa.

Passo 2

Para encontrar o volume entre duas superfícies, precisamos determinar onde elas se intersectam. Isso significa igualar as duas equações dadas:
Vamos reorganizar essa equação para encontrar a região de integração:

Passo 3

Essa equação define a curva de interseção entre o plano e o parabolóide. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Em coordenadas polares, a equação fica mais simples:
Simplificando:
Como :

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Observando a equação acima, vemos que varia de 0 até . O ângulo varia de 0 a para cobrir toda a área circular.

Passo 5

A expressão para o volume pode ser escrita como uma integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo e :

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral passa a ser:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração avançadas, levando ao valor final do volume.

Resposta

Após resolver as integrais, o volume do sólido é .

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