Usando integral dupla, calcular o volume do sólido abaixo do plano
e delimitado pelo parabolóide
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos calcular o volume do sólido que está abaixo do plano
e limitado pelo parabolóide
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a encontrar volumes em situações como essa.
Passo 2
Para encontrar o volume entre duas superfícies, precisamos determinar onde elas se intersectam. Isso significa igualar as duas equações dadas:
Vamos reorganizar essa equação para encontrar a região de integração:
Passo 3
Essa equação define a curva de interseção entre o plano e o parabolóide. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Em coordenadas polares, a equação fica mais simples:
Simplificando:
Como
:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando a equação acima, vemos que
varia de 0 até
. O ângulo
varia de 0 a
para cobrir toda a área circular.
Passo 5
A expressão para o volume
pode ser escrita como uma integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo
e
:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral passa a ser:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração avançadas, levando ao valor final do volume.
Resposta
Após resolver as integrais, o volume do sólido é
.
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Usando integral dupla, calcular a área da elípse
dada na Figura 1 .
Figura 1: Elípse
Figura 1: Elípse
Calcule a área do conjunto
do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
.
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
.
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e pelos três planos coordenados.