Usando o método de Jordan, determine a solução dos sistemas de equações lineares a seguir:
-x1 + x2 - 3 x3 = -5 2 x1 - x2 + x3 = 4 3 x1 + x2 - x3 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Jordan, que também é conhecido como eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
Para resolver esse sistema, vamos transformar as equações em uma matriz aumentada e depois aplicar operações de linha para simplificar até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada combina os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde cada linha tem um “1” como o primeiro número não nulo (também chamado de pivô) e todos os outros números na coluna do pivô são zeros.
Vamos começar pela primeira coluna. Queremos que o primeiro elemento seja 1. Podemos fazer isso multiplicando a primeira linha por :

Passo 4

Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Operações:
Aplicando:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Já temos um “1” na posição (2,2). Vamos usar esse pivô para zerar os outros elementos na segunda coluna.
  • Subtrair 4 vezes a segunda linha da terceira linha.
Operação:
Aplicando:

Passo 6

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o pivô seja “1”, então vamos dividir a terceira linha por 10:
Aplicando:

Passo 7

Com o pivô na terceira coluna definido, agora vamos zerar os outros elementos na terceira coluna.
  • Subtrair 3 vezes a terceira linha da primeira linha.
  • Adicionar 5 vezes a terceira linha à segunda linha.
Operações:
Aplicando:

Passo 8

Finalmente, vamos zerar o elemento na segunda coluna da primeira linha para deixar a matriz completamente reduzida.
  • Adicionar a segunda linha à primeira linha.
Operação:
Aplicando:

Resposta

A solução do sistema é:

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© x = raiz(t) e y = 1 - t para t ≥ 0 . y = 1 - x².