Usando o método de Newton-Raphson, encontre a raiz positiva da equação a seguir com precisão de 10^(-5), partindo de x0 = 4 :
x^2 - 11 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a raiz positiva da equação usando o método de Newton-Raphson. Isso está dentro do conteúdo de métodos numéricos, que são técnicas usadas para resolver equações quando não conseguimos encontrar a solução exata facilmente. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson e aplicar suas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos encontrar a raiz. A equação dada é:
Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

O método de Newton-Raphson usa uma fórmula iterativa para aproximar a raiz de uma função. A fórmula é:
Aqui, é a derivada de .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Essa derivada nos ajuda a determinar a inclinação da função no ponto .

Passo 5

Agora, vamos começar as iterações. Vamos usar como ponto de partida.
Primeira iteração ( ):
Calculamos e :
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 6

Segunda iteração ( ):
Calculamos e :
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 7

Terceira iteração ( ):
Calculamos e :
Como a diferença é menor que , paramos as iterações.

Resposta

A raiz positiva da equação encontrada pelo método de Newton-Raphson com precisão de é aproximadamente .

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