Usando o método de Newton-Raphson, encontre a raiz positiva da equação a seguir com precisão de
, partindo de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a raiz positiva da equação
usando o método de Newton-Raphson. Isso está dentro do conteúdo de métodos numéricos, que são técnicas usadas para resolver equações quando não conseguimos encontrar a solução exata facilmente. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson e aplicar suas fórmulas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos encontrar a raiz. A equação dada é:
Queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
O método de Newton-Raphson usa uma fórmula iterativa para aproximar a raiz de uma função. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Essa derivada nos ajuda a determinar a inclinação da função no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos começar as iterações. Vamos usar
como ponto de partida.
Primeira iteração (
):
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 6
Segunda iteração (
):
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 7
Terceira iteração (
):
Calculamos
e
:
Como a diferença é menor que
, paramos as iterações.
Resposta
A raiz positiva da equação
encontrada pelo método de Newton-Raphson com precisão de
é aproximadamente
.