Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(d) I=integral arcsin (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é do tipo produto de duas funções. Aqui, vamos precisar conhecer a fórmula de integração por partes e saber como derivar e integrar funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes integral u , dv = uv - integral v , du e u = arcsin(2x) e dv = dx na fórmula de integração por partes:
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx arcsin(2x) , dx = 2raiz1 - (2x)^2 , dx = 2raiz1 - 4x^2 , dx e v = integral dv = integral dx = x :
Para , a derivada é:
E para :

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral arcsin(2x) , dx = uv - integral v , du = x cdot arcsin(2x) - integral x cdot 2raiz1 - 4x^2 , dx
Simplificando:
I = x arcsin(2x) - 2 integral xraiz1 - 4x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante t = 1 - 4x^2 Rightarrow dt = -8x , dx Rightarrow x , dx = -dt8 . Para isso, fazemos uma substituição integral xraiz1 - 4x^2 , dx = integral xraizt cdot -dt8 = -18 integral t^-1/2 , dt :
Substituindo na integral:

Passo 6

Resolvendo a integral:
-18 integral t^-1/2 , dt = -18 cdot 2 t^1/2 + C = -14 raizt + C
Substituindo -14 raiz1 - 4x^2 + C :

Passo 7

Voltando à expressão original da integral I = x arcsin(2x) - 2 ( -14 raiz1 - 4x^2 ) + C :
I = x arcsin(2x) + 12 raiz1 - 4x^2 + C
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

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