Use o método de Newton-Raphson para encontrar os zeros das seguintes funções. Considere a precisão dada.
  • f(x)=x^2-5 x-1, x in(0,10), epsilon=10^-3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes da função no intervalo e com uma precisão de . O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função, ou seja, os valores de que fazem .

Passo 2

Primeiro, precisamos da derivada da função f(x) = x^2 - 5x - 1 f'(x) = 2x - 5 porque o método de Newton-Raphson utiliza tanto a função quanto sua derivada. Vamos calcular :

Passo 3

Agora, escolhemos um palpite inicial dentro do intervalo . Vamos tentar com . Esse valor é escolhido de forma arbitrária, mas geralmente escolhemos um ponto que parece próximo da raiz.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(3) = 3^2 - 5 times 3 - 1 = 9 - 15 - 1 = -7 f'(3) = 2 times 3 - 5 = 6 - 5 = 1 x1 = 3 - -71 = 3 + 7 = 10 :

Passo 5

Agora, verificamos se a diferença entre |x1 - x0| = |10 - 3| = 7 > 10^-3 e é menor que a precisão desejada :
Como a diferença é maior, precisamos repetir o processo com .

Passo 6

Vamos calcular f(10) = 10^2 - 5 times 10 - 1 = 100 - 50 - 1 = 49 f'(10) = 2 times 10 - 5 = 20 - 5 = 15 x2 = 10 - 4915 approx 10 - 3,267 approx 6,733 :

Passo 7

Verificamos novamente a diferença:
|x2 - x1| = |6,733 - 10| = 3,267 > 10^-3
Ainda não atingimos a precisão desejada, então repetimos com .

Passo 8

Calculando f(6,733) = (6,733)^2 - 5 times 6,733 - 1 approx 45,32 - 33,665 - 1 approx 10,655 f'(6,733) = 2 times 6,733 - 5 approx 13,466 - 5 = 8,466 x3 = 6,733 - 10,6558,466 approx 6,733 - 1,259 approx 5,474 :

Passo 9

Verificamos a diferença:
|x3 - x2| = |5,474 - 6,733| = 1,259 > 10^-3
Vamos continuar com .

Passo 10

Calculando f(5,474) = (5,474)^2 - 5 times 5,474 - 1 approx 29,98 - 27,37 - 1 approx 1,61 f'(5,474) = 2 times 5,474 - 5 approx 10,948 - 5 = 5,948 x4 = 5,474 - 1,615,948 approx 5,474 - 0,271 approx 5,203 :

Passo 11

Checamos a diferença:
|x4 - x3| = |5,203 - 5,474| = 0,271 > 10^-3
Continuamos com .

Passo 12

Calculando f(5,203) = (5,203)^2 - 5 times 5,203 - 1 approx 27,07 - 26,015 - 1 approx 0,055 f'(5,203) = 2 times 5,203 - 5 approx 10,406 - 5 = 5,406 x5 = 5,203 - 0,0555,406 approx 5,203 - 0,010 approx 5,193 :

Passo 13

Verificamos a diferença:
|x5 - x4| = |5,193 - 5,203| = 0,010 > 10^-3
Vamos para .

Passo 14

Calculando f(5,193) = (5,193)^2 - 5 times 5,193 - 1 approx 26,96 - 25,965 - 1 approx -0,005 f'(5,193) = 2 times 5,193 - 5 approx 10,386 - 5 = 5,386 x6 = 5,193 - -0,0055,386 approx 5,193 + 0,001 approx 5,194 :

Passo 15

Checamos a diferença:
|x6 - x5| = |5,194 - 5,193| = 0,001 <= 10^-3
Como a diferença é igual à precisão desejada , podemos parar aqui.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo usando o método de Newton-Raphson com precisão é .

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