Usando mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando a técnica de mudança de variável, também conhecida como substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que o expoente está dentro da função exponencial , e a derivada de em relação a é . Isso é útil porque temos um termo multiplicando o . Com isso, podemos fazer uma substituição que simplifica a integral.

Passo 3

Vamos definir nossa nova variável de substituição como . Agora, precisamos encontrar a expressão para em termos de :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável . Quando :
E quando :
Portanto, a integral se torna:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral é .

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