Usando mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo: integral0^1 x e^x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^1 x e^x^2 , dx. Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando a técnica de mudança de variável, também conhecida como substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que o expoente x^2 está dentro da função exponencial e^x^2, e a derivada de x^2 em relação a x é 2x. Isso é útil porque temos um termo x multiplicando o e^x^2. Com isso, podemos fazer uma substituição que simplifica a integral.

Passo 3

Vamos definir nossa nova variável de substituição como u = x^2. Agora, precisamos encontrar a expressão para du em termos de dx:
u = x^2 dudx = 2x du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral0^1 x e^x^2 , dx = integralu(0)^u(1) e^u cdot du2
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u. Quando x = 0:
u = 0^2 = 0
E quando x = 1:
u = 1^2 = 1
Portanto, a integral se torna:
12 integral0^1 e^u , du

Passo 5

Agora, integramos e^u em relação a u:
integral e^u , du = e^u + C
Aplicando os limites de integração:
12 [ e^u ]0^1 = 12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1)

Resposta

O valor da integral é e - 12.

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