Usando mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo: integral1^2 2(3 x-2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo que vamos usar aqui é mudança de variável, também conhecida como substituição u. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que simplifique a integral quando substituída por uma nova variável .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhe para o denominador u = 3x - 2 ; ele parece uma boa candidata para dudx = 3 Rightarrow du = 3 dx Rightarrow dx = du3 . Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar em termos de :

Passo 3

Também precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u = 3(1) - 2 = 1 . Quando u = 3(2) - 2 = 4 :
integralu=1^u=4 2u^2 cdot du3
E quando 23 integral1^4 1u^2 du :
Então, a integral agora em termos de fica:
Podemos simplificar os constantes:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^-2 du = -u^-1 + C = -1u + C em relação a 23 [ -1u ]1^4 = 23 ( -14 + 11 ) . Lembrando que:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 5

Vamos calcular os valores:
23 ( -14 + 1 ) = 23 ( 34 ) = 612 = 12

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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