Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de
entre 0 e
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente nos diz que se a gente tem uma função contínua
e sua primitiva
, então a integral definida de
de
até
é
. Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar a primitiva de
.
Passo 3
Para encontrar a primitiva de
, vamos usar uma regra básica de integração para funções do tipo
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é uma constante e
é a constante de integração. No nosso caso,
.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função
, temos:
Então, a primitiva
de
é
.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos calcular
, onde
e
:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
- Para
:
Sabemos que
, então essa parte fica:
- Para
:
E
, então:
Passo 7
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A integral definida
é igual a
.
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