Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de entre 0 e . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente nos diz que se a gente tem uma função contínua e sua primitiva , então a integral definida de de até é . Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar a primitiva de .

Passo 3

Para encontrar a primitiva de , vamos usar uma regra básica de integração para funções do tipo . A integral de em relação a é:
Onde é uma constante e é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função , temos:
Então, a primitiva de é .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos calcular , onde e :

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Para :
Sabemos que , então essa parte fica:
  1. Para :
E , então:

Passo 7

Subtraindo as duas partes:

Resposta

A integral definida é igual a .

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