Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as integrais definidas: integral0^pi8 sin 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida de entre 0 e . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente nos diz que se a gente tem uma função contínua integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) e sua primitiva , então a integral definida de de até é . Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar a primitiva de .

Passo 3

Para encontrar a primitiva de integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C , vamos usar uma regra básica de integração para funções do tipo . A integral de em relação a é:
Onde é uma constante e é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função integral sin(4x) , dx = -14 cos(4x) + C , temos:
Então, a primitiva de é .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos calcular integral0^pi8 sin(4x) , dx = [ -14 cos(4x) ]0^pi8 , onde e :

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Para -14 cos(4 cdot pi8) = -14 cos(pi2) :
-14 cdot 0 = 0
Sabemos que -14 cos(4 cdot 0) = -14 cos(0) , então essa parte fica:
-14 cdot 1 = -14
  1. Para :
E , então:

Passo 7

Subtraindo as duas partes:
0 - (-14) = 14

Resposta

A integral definida é igual a .

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