Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução particular de uma equação diferencial usando a mudança de variável
. A equação dada é:
Além disso, temos as condições iniciais:
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e substituição de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
é:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Isso simplifica nossa equação para termos em
e
, o que facilita a resolução.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolarmos
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Essa forma nos permite identificar que a equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Sabemos que:
e
Portanto:
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos a condição inicial
, ou seja,
:
Então, nossa equação para
fica:
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
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