Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução particular de uma equação diferencial usando a mudança de variável . A equação dada é:
Além disso, temos as condições iniciais: e . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e substituição de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é:
Agora, substituímos e na equação original:
Isso simplifica nossa equação para termos em e , o que facilita a resolução.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolarmos :
Dividindo ambos os lados por , temos:
Essa forma nos permite identificar que a equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis e .

Passo 4

Vamos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Sabemos que:
e
Portanto:
Resolvendo para :
Agora, aplicamos a condição inicial , ou seja, :
Então, nossa equação para fica:
Lembrando que , temos:
Integrando novamente:
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

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