Verifique se a função é diferenciável na origem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é diferenciável na origem, ou seja, no ponto
. A função está definida da seguinte forma:
Vamos precisar usar conceitos de limites, continuidade e derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua na origem. Para ser diferenciável, a função precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
, que é 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
. Uma maneira fácil de fazer isso é analisar o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Passo 4
Primeiro, vamos pelo eixo
, ou seja, quando
:
Então, o limite ao longo do eixo
é 0.
Passo 5
Agora, pelo eixo
, ou seja, quando
:
O limite ao longo do eixo
também é 0.
Passo 6
Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo na fun��ão:
Aqui, o limite depende de
, ou seja, diferentes caminhos dão diferentes limites. Isso significa que o limite geral não existe.
Passo 7
Como o limite de
quando
não é único, a função não é contínua na origem.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
porque ela não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Determine e classifique a superfície dada pela equação:
Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites.
14. .
14.
Determine o diferencial total da função
Usando os multiplicadores de Lagrange: Minimize a superfície de uma caixa de base quadrada de volume