Verifique se a função é diferenciável na origem f(x, y)= 2 x y^2x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função f(x, y) = 2xy^2x^2+y^4 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) é diferenciável na origem, ou seja, no ponto . A função está definida da seguinte forma:
Vamos precisar usar conceitos de limites, continuidade e derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua na origem. Para ser diferenciável, a função precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite de quando se aproxima de deve ser igual a , que é 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando . Uma maneira fácil de fazer isso é analisar o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.

Passo 4

Primeiro, vamos pelo eixo f(x, 0) = 2x(0)^2x^2 + (0)^4 = 0 , ou seja, quando :
Então, o limite ao longo do eixo é 0.

Passo 5

Agora, pelo eixo f(0, y) = 2 cdot 0 cdot y^20^2 + y^4 = 0 , ou seja, quando :
O limite ao longo do eixo também é 0.

Passo 6

Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, f(x, kx^1/2) = 2x(kx^1/2)^2x^2 + (kx^1/2)^4 = 2x(k^2x)x^2 + k^4x^2 = 2k^2x^2x^2(1 + k^4) = 2k^21 + k^4 , onde é uma constante. Substituindo na fun��ão:
Aqui, o limite depende de , ou seja, diferentes caminhos dão diferentes limites. Isso significa que o limite geral não existe.

Passo 7

Como o limite de quando não é único, a função não é contínua na origem.

Resposta

A função não é diferenciável na origem porque ela não é contínua nesse ponto.

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