Verifique se a função é diferenciável na origem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é diferenciável na origem, ou seja, no ponto . A função está definida da seguinte forma:
Vamos precisar usar conceitos de limites, continuidade e derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua na origem. Para ser diferenciável, a função precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite de quando se aproxima de deve ser igual a , que é 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando . Uma maneira fácil de fazer isso é analisar o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.

Passo 4

Primeiro, vamos pelo eixo , ou seja, quando :
Então, o limite ao longo do eixo é 0.

Passo 5

Agora, pelo eixo , ou seja, quando :
O limite ao longo do eixo também é 0.

Passo 6

Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, , onde é uma constante. Substituindo na fun��ão:
Aqui, o limite depende de , ou seja, diferentes caminhos dão diferentes limites. Isso significa que o limite geral não existe.

Passo 7

Como o limite de quando não é único, a função não é contínua na origem.

Resposta

A função não é diferenciável na origem porque ela não é contínua nesse ponto.

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Determine e classifique a superfície dada pela equação:
Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites.
14. .
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Usando os multiplicadores de Lagrange: Minimize a superfície de uma caixa de base quadrada de volume