Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas x, y e z em função de u, v e w.
a) l3 x+y=2 u x-y=u+v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com vetores! A gente vai usar as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar. Nosso objetivo é encontrar os vetores e em função dos vetores e . Vamos precisar manipular as equações para isolar e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
3 x + y = 2 u x - y = u + v
A ideia aqui é resolver esse sistema de duas equações para duas incógnitas ( e ). Podemos usar o método da substituição ou da adição. Vou optar por resolver uma das equações para uma das variáveis e depois substituir na outra.

Passo 3

Vamos resolver a segunda equação para x - y = u + v . A equação é:
y = x - (u + v)
Vamos isolar y = x - u - v :
Ou seja:

Passo 4

Agora que temos 3 x + y = 2 u em termos de 3 x + (x - u - v) = 2 u , vamos substituir essa expressão na primeira equação:
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a equação acima, juntando os termos com 3 x + x - u - v = 2 u e os outros vetores:
4 x - u - v = 2 u
Somando :

Passo 6

Agora, vamos isolar 4 x = 2 u + u + v . Primeiro, movemos 4 x = 3 u + v para o outro lado da equação:
Simplificando :

Passo 7

Para encontrar x = 34 u + 14 v , dividimos ambos os lados da equação por 4 (ou multiplicamos por ):

Passo 8

Agora que temos y = x - u - v , vamos voltar à expressão que encontramos para y = ( 34 u + 14 v ) - u - v :
Substituindo :

Passo 9

Vamos simplificar a expressão para y = 34 u + 14 v - u - v :
y = ( 34 - 1 ) u + ( 14 - 1 ) v
Combinando os termos de y = -14 u - 34 v e :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 34 u + 14 v
e
y = -14 u - 34 v

Exercícios relacionados

Verifique se é possível escrever o vetor v como combinação linear dos outros vetores dados:
v=(3,1,3), v1=(1,0,0), v2=(1,1,1), v3=(2,2,2).
Em cada um dos itens abaixo determinar d(u, v).
V=R^4 com o produto interno usual, u=(1,1,1,1), v=(1,0,2,3).
Verifique se é possível escrever o vetor v como combinação linear dos outros vetores dados:
v=(1,4,3), v1=(1,0,0), v2=(1,1,0), v3=(1,1,1).
Em cada um dos itens abaixo determinar d(u, v).
V=M3 times 3(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B),
A=(lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1 ) e B=(lll 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2 )