usando propriedades das transformadas de Laplace, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa em matemática para resolver equações diferenciais. O que precisamos fazer aqui é calcular a transformada de Laplace da função multiplicada pela derivada de 100ª ordem de . Vamos precisar entender como as propriedades das transformadas de Laplace funcionam, especialmente em relação a derivadas de altas ordens.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da transformada. Temos . Note que e se multiplicam para dar 1, porque . Então, a expressão simplifica para .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de 100ª ordem de . Sabemos que a derivada de de ordem é (fatorial de ), e se derarmos mais do que vezes, o resultado é 0. Portanto, .

Passo 4

Com isso, nossa expressão dentro da transformada de Laplace ficou muito mais simples: é apenas uma constante, . Então, queremos calcular .

Passo 5

A transformada de Laplace de uma constante é , onde é a variável da transformada. Portanto, .

Resposta

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