usando propriedades das transformadas de Laplace, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa em matemática para resolver equações diferenciais. O que precisamos fazer aqui é calcular a transformada de Laplace da função
multiplicada pela derivada de 100ª ordem de
. Vamos precisar entender como as propriedades das transformadas de Laplace funcionam, especialmente em relação a derivadas de altas ordens.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da transformada. Temos
. Note que
e
se multiplicam para dar 1, porque
. Então, a expressão simplifica para
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de 100ª ordem de
. Sabemos que a derivada de
de ordem
é
(fatorial de
), e se derarmos mais do que
vezes, o resultado é 0. Portanto,
.
Passo 4
Com isso, nossa expressão dentro da transformada de Laplace ficou muito mais simples: é apenas uma constante,
. Então, queremos calcular
.
Passo 5
A transformada de Laplace de uma constante
é
, onde
é a variável da transformada. Portanto,
.
Resposta
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